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Hier werden die selbst verfassten Erfahrungsberichte der Studentinnen geteilt, die im Rahmen von HYPATIA.SCIENCE ihr Projekt absolviert haben. Wir möchten damit nicht nur auf uns aufmerksam machen, sondern auch mehr Studierende, insbesondere Studentinnen motivieren, Teil eines solchen Projektes zu werden, bzw. eine Promotion für sich in Betracht zu ziehen.

2025
Janina Tikko - Schwarm-basierte Verfahren für nicht-konvexe Optimierung

„Im Rahmen des HYPATIA.SCIENCE Projekt habe ich unter der Betreuung von Prof. Angela Kunoth das Thema aus meiner Bachelorarbeit wissenschaftlich weiter verfolgt. Dabei habe ich ein sehr aktuelles und neues Forschungsgebiet behandelt: „Schwarm-basierte Gradientenverfahren zur Bestimmung globaler Minima von nicht-konvexen Funktionen". Die globale Optimierung von nicht-konvexen Funktionen ist in der Regel schwierig, da solche Funktionen oft viele lokale Minima (oder Maxima) haben. Das führt dazu, dass die üblichen Gradientenverfahren in solchen Minima „stecken“ bleiben. Das Schwarm-basierte Gradientenverfahren nutzt einen Schwarm aus Agenten, die untereinander kommunizieren, um eben diese lokalen Minima zu überwinden. Um das Verfahren und den Schwarm-Aspekt besser zu verstehen, habe ich mich zunächst in das Cucker-Smale-Modell eingearbeitet. Anschließend habe ich mich auf weitere Aspekte des Verfahrens konzentriert. Unter meiner Anleitung haben mehrere andere Bachelor-Studierende z.B. das Verfahren in zwei Raumdimensionen getestet und versucht, gewisse Parameter zu optimieren. Auch wurde das ähnliche Schwarm-basierte Verfahren mit zufälligen Abstiegsrichtungen näher beleuchtet. Trotz vielversprechender Ergebnisse kamen Zweifel bezüglich der Komplexität der zufälligen Abstiegsrichtungen, da hierfür zahlreiche Householder-Spiegelungen angewendet werden müssen. Im weiteren Verlauf des Projekts habe ich mich daher mehr mit dem Schwarmbasierten Gradientenverfahren in seiner ursprünglichen Form beschäftigt. Insbesondere habe ich dazu in Zusammenarbeit mit Moritz Danzebrink ein Poster für den 25. Rhein-Ruhr Workshop im Januar 2025 in Bestwig erstellt. Meine Arbeit während des Projekts war sehr frei gestaltet. Ich konnte selbst bestimmen, in welche Richtung es weitergeht. Diese Art des wissenschaftlichen Arbeitens und das Thema haben mir sehr viel Spaß bereitet. Außerdem haben sich durch die Forschung und Zusammenarbeit mit den Bachelor-Studierenden inzwischen fünf weitere Fragestellungen ergeben. Daher werde ich mich auch weiterhin mit diesem Themenkomplex im Rahmen meiner Masterarbeit beschäftigen."

2023
Anja Balovneva – Numerische Lösung von Kontrollproblemen mit PDEs auf metrischen Graphen

„Im Rahmen des Förderprogramms HYPATIA.SCIENCE durfte ich unter Betreuung von Anna Weller und Prof. Dr. Angela Kunoth ein halbes Jahr lang die Thematik von Kontrollproblemen mit PDEs auf metrischen Graphen näher untersuchen. Das Projektthema baut auf Frau Wellers Vorlesung „Numerische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen auf metrischen Graphen“ auf. Mit dem dort erworbenen Grundwissen konnte ich ein geeignetes Netzwerk in julia implementieren und auf diesem die Kontrollfunktionen und deren Auswirkungen auf die Lösung der PDEs untersuchen. Die Grundidee besteht darin, die sogenannte „state equation“, welche aus einem Differentialoperator und den Neumann-Kirchhoff Randbedingungen besteht, um Knoten mit Dirichlet Randbedingungen zu erweitern. Durch die neue Bedingung lässt sich dann eine Kontrollfunktion in die state equation einführen. Unter Anwendung der finiten Elemente Methode für Graphen lässt sich das Modell diskretisieren und das finale Optimierungsproblem herleiten. Das Ziel meiner Arbeit in dem Projekt war es, die Inzidenzmatrix des erweiterten Graphen und die Matrixrepräsentation des Optimierungsproblems mit dem erworbenen Wissen aus Frau Wellers Vorlesung zu programmieren und die Implementierungen auf ein gegebenes Problem anzupassen. Für die Inzidenzmatrix habe ich die eingehenden und ausgehenden Kanten von den ursprünglichen Knoten des erstellten Graphen einzeln betrachtet und diese dann mithilfe des Kroenecker Produkts erweitert. Um das Optimierungsproblem aufzustellen, habe ich noch zusätzlich die benötigte Gewichts- und Steifigkeitsmatrix sowie die Massematrix implementiert. Die eigenständig erarbeiteten Programme konnte ich dann mit aus der Vorlesung bekannten Lösungsmethoden verifizieren und anschließend sogar an verschiedenen Präkonditionierern arbeiten, um die Effizienz zu erhöhen. Kontrollprobleme, beschränkt durch partielle Differentialgleichungen, sind ein lang erforschtes mathematisches Gebiet, welches nun auf moderne Probleme, wie zum Beispiel in der Medizin die Untersuchung der Alzheimer-Krankheit, angewandt werden kann. Durch die Teilnahme an dem Projekt hatte ich die Möglichkeit, einen Einblick in die Forschung an solch aktuellen Themen zu gewinnen. Da sich im Studium die Themen eher auf die Theorie konzentrieren, war es besonders spannend, eigenständig Codes zu implementieren und unter meiner Betreuung neuen Ansätzen nachzugehen. Das Projekt hat mein Interesse an einer Promotion in dem Themenbereich geweckt, da ich jetzt eine Vorstellung von wissenschaftlichem Arbeiten habe und durch den Austausch mit dem gesamten Team auch Spaß am Lösen von neuen Problemen gefunden habe. Ich freue mich darauf, auch nach Abschluss des Projekts weiter in der Forschungsgruppe von Frau Kunoth zu bleiben und meine Arbeit mit einer anschließenden Masterarbeit zu vertiefen.“

Anahita Pouralijanki - Darstellungstheorie von endlich-dimensionalen Algebren

„Im Jahr 2023 habe ich im Rahmen von HYPATIA.SCIENCE mein Forschungsprojekt unter der Betreuung von Dr. Severin Barmeier und Prof. Dr. Sybille Schroll begonnen. Mein Forschungsschwerpunkt lag auf der Deformation von gentle Algebren, einer speziellen Klasse von Algebren, die in der Darstellungstheorie und der mathematischen Physik eine wichtige Rolle spielen. Zu meinen Aufgaben gehörte das eingehende Studium der Auslander-Reiten-Köcher (AR-Köcher) dieser Algebren. Diese Diagramme sind essentielle Werkzeuge in der Darstellungstheorie und bieten tiefe Einblicke in die Struktur und die Darstellungen der Algebren. Durch die Konstruktion von Flächenmodellen konnte ich die AR-Köcher sichtbarer und zugänglicher machen. Im Verlauf meiner Arbeit habe ich drei unterschiedliche Methoden kennengelernt, um diese Flächenmodelle zu konstruieren. Die erste Methode stammte von Karin Baur und Raquel Coelho-Simoes und bot einen innovativen Ansatz zur Visualisierung der Strukturen. Die zweite Methode wurde von Sebastian Opper, Pierre-Guy Plamondon und Sybille Schroll entwickelt und ermöglichte eine dynamische Perspektive auf die Deformationen. Schließlich habe ich eine dritte Methode untersucht, die eine Kombination der ersten beiden Ansätze darstellt und auf der Arbeit von Wen Chang basiert Durch die enge Zusammenarbeit mit meinen Betreuern und die intensive Auseinandersetzung mit der Materie habe ich wertvolle Erfahrungen im wissenschaftlichen Arbeiten gesammelt. Besonders bereichernd war es, die Gelegenheit zu haben, neue theoretische Ansätze selbst zu erforschen und innovative Modelle zu entwickeln. Das Projekt im Rahme von HYPATIA.SCIENCE war für mich eine äußerst lehrreiche und inspirierende Erfahrung. Es hat mir nicht nur geholfen, meine mathematischen und methodischen Fähigkeiten zu erweitern, sondern mich auch in meiner Entscheidung bestärkt, eine Promotion anzustreben. Die Möglichkeit, eigenständig wissenschaftlich zu arbeiten und zur Weiterentwicklung eines so faszinierenden Forschungsfeldes beizutragen, hat meine Begeisterung für die Wissenschaft weiter entfacht."

Hannah Windgasse – Starting IPS: Implementierung eines Prototypen zur Studienverlaufsplanung

„Im Rahmen meiner Forschungsstelle bei HYPATIA.SCIENCE habe ich die Möglichkeit bekommen, das wissenschaftliche Arbeiten näher kennenzulernen. Diese über ein halbes Jahr laufende Forschung hat mir viel Freude bereitet und Einblicke in wissenschaftliche Abläufe und Prozesse erlaubt, die man im alltäglichen Studium eher nicht erhält. In unserem Projekt, welches ich gemeinsam mit meiner Betreuerin Frau Dr. Vera Weil aufgenommen habe, haben wir uns mit der Idee beschäftigt, einen Prototypen eines Programms zu entwickeln, welches Studierenden dabei hilft, ihren Studienverlauf zu planen. Denn jede:r Studierende muss im Laufe des Studiums immer wieder aufs Neue darüber nachdenken, welche Veranstaltungen sie oder er im nächsten und den darauffolgenden Semestern belegen möchte oder muss. Dabei müssen Studierende auf Anforderungen und Vorgaben seitens der Prüfungsordnungen, aber auch auf persönliche Ziele achten. Darunter fallen beispielsweise die Fragen: "Welche Module sind vor anderen zu belegen oder sogar zu bestehen?", "Welche Module werden in welchem Turnus angeboten?" oder auch "Wie muss ich nach dieser nicht bestandenen Klausur wählen, um immer noch in 7 Semestern mein Studium absolvieren zu können?". Und genau solchen Fragen soll der Prototyp gerecht werden. Dieser soll den bisherigen Studienverlauf der:des User:in nachbilden und basierend auf der Prüfungsordnung und den persönlichen Eingaben und Wahlen mögliche Pläne vorschlagen. Den Studierenden soll somit eine Hilfestellung zur generellen Planung ihrer Studienzeit gegeben werden und sie dabei unterstützen, den eigenen Studienverlauf besser einschätzen zu können. Wir haben uns hierbei zunächst auf das Studium der Wirtschaftsmathematik konzentriert, wobei das langfristige Ziel ist, das Programm auch auf andere Studiengänge anwendbar zu machen. Für mich war der Einblick in den Forschungsalltag eine umfassende und tolle Erfahrung. Ich konnte viele lehrreiche inhaltliche Erkenntnisse gewinnen und hatte großen Spaß, mich mit der Thematik zu beschäftigen. Ob selbstständig oder in Zusammenarbeit mit meiner Betreuerin, konnten auch unerwartet auftretende Probleme und Schwierigkeiten gemeistert werden. Diese Erfahrungen haben mir nochmal mehr den realen Alltag in der Forschung demonstriert. Während meiner Zeit in dem Projekt habe ich mich jederzeit gerne an die Implementierung begeben. Zugegebenermaßen hat es mich immer wieder in den Fingern gejuckt, den Laptop noch nicht zuzuklappen, sondern die eine oder andere Methode noch zu vollenden oder zu ergänzen. Alles in allem kann ich somit nur jeder Studentin empfehlen, diese Möglichkeit zu ergreifen und im Rahmen des HYPATIA.SCIENCE Projektes Erfahrungen zu sammeln und etwas „Forschungsluft“ zu schnuppern."

2022
Kira Hoffmann - Optimale Steuerung des Versicherungsüberschussprozesses durch Rückversicherung

„Unter der Betreuung von Prof. Dr. Dr. Hanspeter Schmidli und Dr. Leonie Brinker habe ich im Zeitraum August 2022 bis Februar 2023 die Möglichkeit gehabt, im Rahmen einer HYPATIA.SCIENCE- Stelle erste Einblicke in den Forschungsalltag zu erhalten.
Während der ersten Wochen war es meine Aufgabe, mich in die Dissertation von Dr. Leonie Brinker einzuarbeiten und die von ihr entwickelten Methoden nachzuvollziehen. Sie löste ein stochastisches Kontrollproblem, welches wie folgt formuliert ist: Gegenstand der Betrachtung ist der Überschussprozess eines Versicherungsunternehmens, welches Dividenden nach einer Barrierenstrategie auszahlt, d.h. wann immer der Überschuss eine bestimmte Grenze q>0 überschreitet, wird alles Kapital darüber als Dividende ausgeschüttet. Ferner wird der sogenannte Drawdown-Prozess betrachtet, welcher die Distanz zwischen der Dividendenbarriere und dem aktuellen Überschuss misst. Ein Drawdown, der größer ist als ein vorgegebenes Level d, wobei 0<q- d<q, wird als kritisch bezeichnet. Der Versicherer möchte nun in folgendem Sinne optimal agieren: Ziel ist es, möglichst viele Dividenden auszuschütten, während die im kritischen Drawdown verbrachte Zeit kurzgehalten werden soll. Um den Überschussprozess nach diesen Kriterien positiv zu beeinflussen, kauft der Versicherer (proportionale) Rückversicherung. In ihrer Dissertation beschreibt Dr. Leonie Brinker eine optimale Rückversicherungsstrategie. Diese ist abhängig davon, wie viel Gewicht den zwei Aspekten „Dividenden maximieren“ und „Zeit im Drawdown minimieren“ beigemessen wird. Ziel des gemeinsamen Projektes war es nun, dieses Modell um den zusätzlichen Aspekt von Kapitalinjektionen zu erweitern, d.h. wann immer der Überschussprozess ein bestimmtes Level unterschreitet, wird Kapital „von außen injiziert“. Der Versicherer möchte dieses zusätzliche Kapital so gering wie möglich halten. Dabei konnte ich durch explizite Berechnungen zeigen, dass sich die von Dr. Leonie Brinker gefundene Strategie im Bereich der Grenze, an welcher Kapital injiziert wird, ändern muss, was unsere anfängliche Intuition bestätigte. Entgegen unserer Hoffnungen gestaltete sich die explizite Lösung des Problems als zu komplex, sodass wir unser Forschungsziel angepasst haben und nun den Beweis der Existenz einer Lösung ohne explizite Konstruktion erarbeiten. Eine gemeinsame Publikation ist in Vorbereitung. Die Teilnahme am HYPATIA.SCIENCE-Projekt war für mich eine große Bereicherung, da mein persönliches Interesse an einer Promotion im Laufe des Studiums gewachsen ist und ich nun meine Vorstellung über die Inhalte und den Ablauf dieser konkretisieren konnte. Dies wäre mir ohne das Projekt in dieser Form nicht möglich gewesen. Durch den engen Kontakt zur Stochastik-AG konnte ich ferner von vielen Erfahrungsberichten profitieren, sodass ich hier eine noch realistischere Einschätzung der Vor- und Nachteile einer Promotion erhielt. Insgesamt war die Erfahrung im Rahmen des HYPATIA.SCIENCE-Projekts für mich ausschlaggebend, um mich für die Promotion zu entscheiden. Im Zuge dieser werde ich weitere Projekte im Umfeld des Gelernten durchführen."
 

2021
Chong-Son Dröge - Numerische Spektralanalyse auf nicht-equilateralen metrischen Graphen

„Dank des HYPATIA.SCIENCE-Programms der Universität zu Köln hatte ich im Wintersemester 2021/2022 die Möglichkeit, einen Einblick in das wissenschaftliche Arbeiten zu bekommen. Im Rahmen des Programms habe ich mich unter der Betreuung von Anna Weller mit dem Thema der numerischen Spektralanalyse auf nicht-equilateralen metrischen Graphen beschäftigt. Motiviert wurde die Auseinandersetzung mit dieser Thematik durch das Forschungsprojekt „Neurodegeneration Forecasting - A Computational Brainsphere Model for Simulation of Alzheimer’s Disease“, gefördert durch die Exzellenzinitiative der Universität zu Köln. Dieses Forschungsprojekt wurde im Jahr 2017 von Frau Prof. Dr. Angela Kunoth und Prof. Dr. Yaping Shao aus der Meteorologie sowie Prof. Dr. Alexander Drzezga aus der Nuklearmedizin ins Leben gerufen. Im Rahmen dieses Forschungsprojektes wird die Ausbreitung zweier Proteine im Gehirn untersucht, die maßgeblich die Alzheimer Erkrankung prägen. Eins dieser Proteine ist das sogenannte Tau-Protein, welches sich entlang des Gehirnnetzwerkes ausbreitet, sich in den Neuronen anhäuft und so deren Funktion beeinflusst. Um die Ausbreitung des Tau-Proteins als Reaktions-Diffusions Prozess zu modellieren, wird ein metrischer Graph verwendet. Hierbei bilden Neuronen die Knoten des Graphens, die Verbindungen zwischen den Gehirnregionen stellen die Kanten des Graphens dar, deren Längen den Abstand der Gehirnregionen beschreiben. Die Aufgabe besteht nun darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren eines geeigneten Differentialoperators zweiter Ordnung auf so einem metrischen Graphen numerisch zu bestimmen. Wenn alle Kanten die gleiche Länge haben, also ein sogenannter equilateraler Graph vorliegt, kann das Spektrum des Differentialoperators vollständig bestimmt werden. Im Rahmen des HYPATIA.SCIENCE-Programms haben wir uns mit dem allgemeineren Fall auseinandergesetzt und sogenannte nicht-equilaterale Graphen, bei denen die Kanten nicht alle die gleiche Länge haben, betrachtet. Zu Beginn des Projektes habe ich mich mit den Grundlagen und dem bereits ausgearbeiteten Ansatz für equilaterale Graphen vertraut gemacht. Diese Arbeit bestand darin, sich sowohl mit entsprechender Literatur auseinanderzusetzen als auch die zur Implementierung genutzten Routinen zu verstehen. In wöchentlichen Besprechungen haben wir unsere Ergebnisse vorgestellt, über Probleme diskutiert und neue Aufgaben verteilt. Nachdem die Grundlagen verinnerlicht wurden, haben wir einen ersten Ansatz zur Berechnung der Eigenwerte für den nicht-equilateralen Fall erarbeitet und implementiert. Wir haben festgestellt, dass dieser Ansatz jedoch auf ein höchst nicht-lineares Problem führt, welches durch klassische numerische Verfahren nicht mehr vollständig oder nur sehr ineffizient gelöst werden kann. Nach einem gemeinsamen Meeting mit Frau Prof. Dr. Angela Kunoth, in dem wir über unser Problem diskutiert haben, aber auch unsere Erkenntnisse reflektiert haben, sind wir zu dem Entschluss gekommen, dass ein neuer Ansatz gewählt werden sollte. Dieser bestand darin, dass wir unsere Erkenntnisse aus dem equilateralen Fall ausnutzen wollen. Unsere neue Idee hat sich als vielversprechend erwiesen, sodass wir diese nun weiter verfolgen. Die Teilnahme am HYPATIA.SCIENCE-Programm war für mich eine große Bereicherung. Ich freue mich sehr, dass ich auch nach Ende des Programms in der Arbeitsgruppe von Frau Prof. Dr. Angela Kunoth als wissenschaftliche Forschungshilfskraft tätig sein darf und mit meiner Mentorin, Anna Weller, an diesem Forschungsprojekt weiterarbeiten darf. Zum Ende meines Bachelorstudiums habe ich bei Frau Prof. Dr. Angela Kunoth in meiner Bachelorarbeit numerische Methoden zur Lösung der Schrödingergleichung untersucht. Dies war auf mein Studium mit dem Nebenfach Physik zugeschnitten. Danach hatte ich zunächst nicht ins Auge gefasst, ein Masterstudium anzuschließen. Aber durch das Forschungsprojekt, die HYPATIA.SCIENCE-Unterstützung und die anvisierte enge Zusammenarbeit mit Anna Weller gebe ich der Option „Master“ nun doch eine Chance. Daher möchte ich mich an dieser Stelle ganz besonders bei meiner Mentorin Anna Weller bedanken. Durch sie konnte ich im Rahmen des HYPATIA.SCIENCE-Programms einen guten Einblick in die Forschungswelt erhalten. Die Zusammenarbeit mit ihr hat die Freude am Forschen in mir geweckt. In den letzten Monaten ist mir klar geworden, dass dieses Thema nicht nur sehr relevant ist, sondern unser Ansatz an vorderster Front internationaler Forschung steht. In den kommenden Monaten wollen wir eine erste gemeinsame Veröffentlichung für eine renommierte Fachzeitschrift vorbereiten. Während meiner Arbeit habe ich gelernt, dass nicht jeder Weg zielführend ist, man aber dennoch zu einem Ergebnis kommen kann, wenn man lange genug am Ball bleibt. Die wöchentlichen Besprechungen mit meiner Mentorin haben mir persönlich immer sehr viel geholfen. Denn ganz nach Werner Heisenbergs Worte „Wissenschaft entsteht im Gespräch“ ist mir in dieser Zeit bewusst geworden, dass Diskussionen und Austausch ein großer und wichtiger Bestandteil des wissenschaftlichen Arbeitens sind."

2020
Svenja Griesbach – Pandoras-Box-Probleme auf metrischen Räumen

„Im Mai 2020 wurde ich unter der Betreuung von Dr. Kevin Schewior in das Förderprogramm von HYPATIA.SCIENCE aufgenommen. Als Forschungsprojekt hatten wir uns ursprünglich für das Pandoras-Box Problem auf metrischen Räumen entschieden. Das allgemeine Pandoras-Box Problem ist wie folgt definiert: Es gibt n Alternativen (Boxen), jede mit einem bekannten nicht-negativen Preis und einem nicht bekannten nicht-negativen Profit (Inhalt der Box), der unabhängig aus einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung stammt. Die Agentin öffnet sequentiell eine gewisse Teilmenge der Boxen, d.h. sie zahlt den entsprechenden Preis, um den Profit der Box zu sehen. Das Ziel ist es, eine Strategie zu finden, die den maximalen gefundenen Profit abzüglich der bezahlten Kosten in Erwartung maximiert. Weitzman zeigte 1979,dass die optimale Strategie eine einfache Struktur hat und effizient berechnet werden kann.
Da das Modell in der theoretischen Informatik in den letzten Jahren sehr populär wurde, wollten wir eine Verallgemeinerung des Problems betrachten. Hierbei befinden sich die Boxen an verschiedenen bekannten Positionen in einem metrischen Raum. Beginnend und endend an einer festen Position bewegt sich die Agentin nun im metrischen Raum, wobei die Öffnungskosten durch die gelaufene Distanz ersetzt werden. Leider stellte sich dieses Problem bei genauerer Betrachtung als ziemlich schwierig heraus, weshalb wir nach ein paar Monaten das Problem etwas umgeschrieben haben. Da es sich hierbei jedoch noch um unser aktuelles Forschungsprojekt handelt, möchte ich gar nicht genauer auf das Problem und unseren aktuellen Forschungstand eingehen.
Denn auch wenn mein offizieller Förderzeitraum bereits seit Ende Oktober vorbei ist, treffe ich mich noch immer wöchentlich mit Dr. Kevin Schewior, um weiter an dem Problem zu forschen. Seit September ist auch Dr. Felix Hommelsheim unserem kleinen Forschungsteam beigetreten und unterstützt uns tatkräftig. In unseren wöchentlichen, etwa zweistündigen Treffen berichten wir von unseren neuen Ideen zur Lösung des Problems und versuchen gemeinsam, mögliche Herangehensweisen zu erarbeiten. Ich habe somit während der gesamten Zeit dieselben Aufgaben und Ziele wie mein Betreuer verfolgt. Somit konnte ich einen sehr guten Einblick in den Alltag einer Promovierenden erhalten, auch wenn man mal für einige Wochen keine Fortschritte macht. Trotzdem macht das Forschen und vor Allem die intensive Arbeit im Team mir sehr viel Spaß und das Programm von Hypatia.Science hat sicherlich dazu beigetragen, die Forschung für mich nahbarer zu machen.“

Antonia Thiemeyer – Lokale Optima der Gaußschen Masse

„Im Zuge des HYPATIA.SCIENCE Projekts an der Universität zu Köln hatte ich die Möglichkeit ein halbes Jahr lang einen Einblick in das wissenschaftliche Arbeiten an der Universität zu erlangen. Das Ziel unseres Projekts war es, lokale Optima für die Gaußsche Masse Funktion über Gittern zu finden. Im Gegensatz zu den bereits untersuchten lokalen Minima dieser Funktion gibt es bisher noch keine konkreten Ergebnisse über die (lokalen) Maxima. Indem Gitter durch ihre Gram-Matrix identifiziert werden, konnten wir die Funktion über einem euklidischen Raum definieren und das Problem der Optimierung auf die Auswertung des Gradienten und der Hessematrix zurückführen. Es gelang schließlich mit Techniken für Thetareihen und Modulformen einen Ausdruck für die Hessematrix aufzustellen und Methoden zu entwickeln, um die Definitheit dieser Matrix zu untersuchen. Die zu Beginn des Projekts aufgestellte Vermutung über einen möglichen Maximierer stellte sich in diesem Schritt zwar als falsch heraus, jedoch konnten wir basierend auf den Ergebnissen neue Vermutungen aufstellen. Es lässt sich festhalten, dass die entwickelten Methoden dazu dienen könnten tatsächliche Maximierer zu finden.
Meine Aufgaben während des Projekts waren sehr vielfältig. Zu Beginn galt es sich eigenständig mit allen Grundlagen vertraut zu machen. Dazu habe ich mich mit Literatur zu den Themen Gittern und Modulformen auseinandergesetzt und in zwei Vorträgen meine Ergebnisse präsentiert. Alles bis dahin Erarbeitete konnte auf die Gaußsche Masse Funktion angewendet werden. Nach den ersten theoretischen Ergebnissen untersuchten wir die Hessematrix zunächst numerisch. Dafür nutzten wir das Computeralgebrasystem Sage. In dieses konnte ich mich auch ohne Vorkenntnisse schnell einarbeiten. Zuletzt hatte ich die Aufgabe alle Ergebnisse zusammenzutragen und einen Vortrag im Oberseminar zu halten.
Für mich persönlich war die Teilnahme am Hypatia.Science Programm eine tolle Erfahrung und eine Bereicherung. Ich habe gelernt eigenständig zu arbeiten und auch bei zwischenzeitlichen Schwierigkeiten am Ball zu bleiben. Bei Fragen oder Problemen konnte ich mich jederzeit an meinen Betreuer wenden, der mich immer zeitnah unterstützt hat. Darüber hinaus habe ich nun eine genauere Vorstellung vom wissenschaftlichen Arbeiten. Des weiteren ist es für mich sehr erfreulich, dass mit den Ergebnissen aus diesem Projekt weiter gearbeitet wird. Ich bin gespannt welche Resultate aus der weiteren Forschung hervorgehen werden. Insgesamt gehe ich aus diesem Projekt mit einem sehr guten Gefühl heraus und könnte mir vorstellen zu promovieren.“

Im Zuge dieses Projekts ist in Zusammenarbeit mit unter anderem dem Betreuer Arne Heimendahl eine Forschungsarbeit entstanden: „Critical even unimodular lattices in the Gaussian core model“

Anna Nechamkina – Rekurrenz und Transienz in Booleschen Zufallsgraphen

„Ich nahm von Juni bis November 2020 an einem Forschungsprojekt im Rahmen von HYPATIA.SCIENCE teil und war am Lehrstuhl Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. Mörters als wissenschaftliche Hilfskraft tätig. Mein Projektthema handelte von Rekurrenz und Transienz in Booleschen Zufallsgraphen. Es ging um die Fragestellung, ob eine zufällige Irrfahrt auf einem Booleschen Graphenmodell unendlich oft wieder zu ihrem Startpunkt zurückkehren würde, also rekurrent sei, oder nicht, d.h. in dem Fall transient wäre. Bei einem Booleschen Zufallsgraphen handelt es sich um einen Graphen, dessen Knoten Poisson-verteilt sind und einen zufälligen Radius zugewiesen bekommen. Anhand dieser Radii werden die Kanten gebildet, wobei zwei Knoten verbunden werden, wenn die Kugeln der beiden Punkte mit den jeweiligen Radii sich schneiden. Zielsetzung des Projektes war es, die Vermutung, dass Rekurrenz in Dimensionen 1 und 2 existiere, zu beweisen.
Als Grundlage diente ein Paper, in welchem für ein ähnliches Graphenmodell die Behauptung bereits gezeigt worden war. Meine Aufgabe bestand darin, die Beweistechniken in dem Paper zu verstehen und auf mein Modell zu übertragen. Der zweite Teil des Projektes sollte darin bestehen, Transienz für höhere Dimensionen zu untersuchen. Leider war die Uni coronabedingt über den gesamten Zeitraum geschlossen. Dadurch war es nicht möglich, sich im Mathematischen Institut zu treffen und vor Ort am Projekt zu arbeiten. Dennoch gab es einen regelmäßigen – quasi wöchentlichen – Austausch mit den Mitarbeitern der Lehrgruppe zu Fortschritten und Schwierigkeiten, die während des Projektes auftraten.
Ich konnte mir in dem Zeitraum ein gutes Bild davon machen, wie wissenschaftliche Arbeit abläuft und was eine Promotion beinhaltet. Es gehört viel eigenverantwortliches Arbeiten dazu, wenn man sich in neue Probleme einliest und versucht, seiner Fragestellung nachzugehen und eine Lösung zu finden. Allerdings ist es genauso wichtig, sich regelmäßig mit der Gruppe auszutauschen, denn so entstehen oft neue Ideen und Ansätze für Probleme, bei denen man selber gerade nicht weiterkommt. Ich habe viele Erfahrungen sammeln können und bin mir nun mehr als vorher bewusst, wie eine Promotion ablaufen könnte.“

Pauline Scharf – Lokal-harmonische Maaßformen auf dem hyperbolischen Raum

„Ziel des Projektes war die Konstruktion lokal-harmonischer Maaßformen auf dem hyperbolischen Raum der Dimension n. Dabei handelt es sich um Funktionen, die auf höherdimensionalen Verallgemeinerungen der komplexen oberen Halbebene definiert sind, unendlich viele Symmetrien unter Möbiustransformationen besitzen und bis auf gewisse Unstetigkeitsstellen harmonisch sind. Für die Konstruktion haben wir einen Ansatz verwendet, der die Theorie der singulären Thetalifts nutzt. Die Idee dabei ist, mittels eines geeigneten Integraloperators eine Abbildung von klassischen Modulformen auf der oberen Halbebene zu lokal-harmonischen Maaßformen auf dem hyperbolischen n-Raum zu definieren.
Zu Beginn des Projektes habe ich mich in die benötigten Grundlagen eingearbeitet. Danach haben wir in regelmäßigen Zoom-Meetings unsere bisherigen Ergebnisse und die nächsten Schritte besprochen sowie die sich ergebenen Aufgaben aufgeteilt. Während dieser zweiten Phase des Projektes habe ich entweder Beweise, die bereits für ähnliche Thetalifts geführt wurden, auf den von uns benötigten Thetalift übertragen oder eigene Beweise und Berechnungen durchgeführt. Dabei hatte ich immer einen Ansprechpartner, der mir bei Fragen oder Problemen weitergeholfen hat.
Die Arbeit an dem Projekt hat einen guten Einblick in das wissenschaftliche Arbeiten unter Corona-Bedingungen gegeben. Wie das wissenschaftliche Arbeiten an einem gemeinsamen Forschungsprojekt unter „normalen“ Bedingungen abläuft, hat man in diesem Semester leider nur durch Erzählungen mitbekommen. Trotzdem habe ich nach Abschluss des Projektes ein gutes Bild davon, was eine Promotion für mich beinhalten würde und könnte mir diese auch gut vorstellen, allerdings nicht direkt nach meinem Masterabschluss, sondern erst später, wenn das Arbeiten vor Ort und der direkte Austausch wieder problemlos möglich sind.“

Anouk Weber – Modelle der mathematischen Epidemiologie und Scientific Machine Learning

„In meiner Forschungsstelle im Rahmen von HYPATIA.SCIENCE habe ich mich mit dem Einsatz einer Methode des Scientific Machine Learning zur Parameteridentifikation in Modellen der mathematischen Epidemiologie beschäftigt. Hierbei habe ich einen bereits bestehenden Code der Arbeitsgruppe von Herrn Professor Klawonn erweitert. Der ursprüngliche Code hat unter Verwendung von Physics Informed Neural Networks (PINNs) und Kompartimentmodellen die Kontaktraten in einer Gesellschaft während einer Pandemie berechnet. Hierbei wurden die Differentialgleichungen, die aus den Kompartimentmodellen resultieren, in ein neuronales Netz eingebunden. In diesem Code wurde zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass in der Gesellschaft alle die gleiche Kontaktrate haben. Meine Aufgabe war es dann, in den Code weitere Differentialgleichungen einzubauen, sodass zwei Gruppen mit unterschiedlichen Kontaktraten berücksichtigt werden können. Die Berechnungen habe ich auf einem Grafikkartencluster durchgeführt.
Nicht nur durch meine eigene Tätigkeit während des Projektes, sondern auch durch den Austausch mit meiner Betreuerin habe ich einen besseren Einblick in das wissenschaftliche Arbeiten und in die Aufgaben und Tätigkeiten, die man während einer Promotion hat, erhalten. Mir hat es Spaß gemacht, an einem so aktuellen Thema mitzuarbeiten. Für mich war das Projekt im Rahmen von HYPATIA.SCIENCE eine sehr lehrreiche Erfahrung, da sich innerhalb des Studiums selten die Möglichkeit bietet, neue Ansätze selber zu erforschen. Stattdessen geht es meist darum bereits erforschte Theorien nachzuvollziehen und bereits erforschte Methoden anzuwenden. Die Erfahrung, selber wissenschaftlich zu arbeiten, hat mir bei der Frage, ob eine Promotion für mich in Frage kommt, sehr geholfen.“